Introducción. Ecuaciones de 2º grado.

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:



donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:



con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.

Fórmula de Baskara.

Fórmula de Baskara.

¿Porqué es tan imporante la fórmula de Baskara? Vamos a verlo,en primer lugar hay que llevar la ecuación a la forma:



Luego se multiplica todo por 4a.



Ahora sumamos y restamos b^2, de esta manera no cambia nada tampoco:



Ahora observemos los primeros 3 términos, se trata de un trinomio cuadrado perfecto, así que factoreando se obtiene:



Y ahora es fácil despejar X:



Pero como vimos antes una raíz arroja 2 resultados, uno positivo y uno negativo así que queda:



Esta última es la famosa fórmula que nos da las soluciones para X.

Ecuaciones de 2º grado, completas.

La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:

1.- Completa: Tiene la forma canónica:



donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero.
Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante



ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.

Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. La fórmula general se deduce más adelante.

• Cuando D > 0, P(x) tiene dos raíces reales distintas



y su representación cruza el eje de las abscisas dos veces.

• Cuando D = 0, P(x) tiene dos raíces coincidentes reales ,



y su representación es tangente al eje de abscisas.

• Cuando D < 0, P(x) no tiene raíces reales y su representación queda estrictamente por encima o por debajo del eje de abscisas. En este caso, P(x) tiene dos raíces complejas distintas.

Ecuaciones de 2º grado, completas.

Estos son los tres ejemplos de ecuaciones de segundo grado.

(pincha para verlo mejor.)

Ecuaciones de 2º grado, incompletas.

Incompleta pura:

Es de la forma:


donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma:



con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es, por supuesto, x = 0


Incompleta mixta:

Es de la forma:



donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución en números complejos.

Ecuaciones de 2º grado, incompletas.

Forma de resolver y ejemplos de ecuaciones de segudo grado incompletas.

(pinchar en la imagen para ver más grande.)

Ejemplo de ecuaciones de 2º grado.

Aquí os dejo algunos ejerciciospara practicar. No obstante, os dejo aquí los pasos para resolverlas:

1º- Pasar todos los elementos a un lado. (Tener en cuenta los signos.)

2º- Identificar los coeficientes.

3º- Aplicar la fórmula.

(pinchar en la imagen para verla mejor)